Ребёнок кашляет долго, что делать?

Ребёнок кашляет уже почти 2 месяца, я не знаю, что мне делать.
Началось все как обычная простуда из сада - сопли текут по задней стенке, от этого кашель, в легких чисто, ушли на больничный. За неделю никаких улучшений, сходили к платному педиатру, сдали оак, врачу показалось, что проскочил один хрип слева, позже пришли результаты крови - бактериальная. Бронхит. Пропили антибиотик клацид 7 дней, ингаляции с пульмикортом и беродуалом. После лечения в легких все чисто, но опять по задней стенке немного стекает слизь 🤷🏻‍♀️ (до этого болели с затяжными соплями, лор сказал, что начальная стадия аденоидов похоже развивается).
В общем, вылечили мы бронхит и нас выписали и рекомендовали пропить курс бронхомунала (первые 10 таблеток пропили, по идее с 15.12. второй курс надо). Я решила написать в саду заявление на отпуск, чтобы организм окреп и восстанавливался после бронхита. Но с момента выписки - 18.11. кашель не прекратился. Я все думала- ну остаточный после бронхита.. ну 5 дней, ну 7, ну 10. Плюсом держится субфебрильная температура практически постоянно (36.9-37.2).
29.11. Снова сдаем кровь и по договоренности везу ребёнка к заведующей дневного стационара (очень компетентный врач). Рассказываю все, слушает дочь, смотрит горло - все чисто. На всякий случай выписывает направление на рентген, делаем в этот же день- чисто. Кровь в целом нормальная, соэ 10 (по верхней границе, но в пределах нормы), больше никаких повышенных показателей. Рекомендовала пропить Монтелукаст 3-4 недели, раз кашель уже больше месяца. Вот сегодня ровно 2 недели пропили, результата 0. Не лучше, не хуже. Кашель так и сохраняется (не сухой), температура от 36.9 до 37.3, утром бывает 36.6. Также лезут вторые моляры, но я не верю в то, что на зубы может так долго быть температура. Я не понимаю, что мне делать. Допить курс Монтелукаста и ждать, что поможет? А температура? Сдать кровь на микоплазменную пневмонию или на что еще? По идее на рентгене все равно были бы заметны хоть малейшие изменения. Просто забить? Тк о температуре я узнаю только потому что сама ее измеряю, у ребенка признаков нет - она бодрая, веселая, играет как всегда, аппетит хороший, нет признаков того, что ей нехорошо, нет сил или хочется полежать. На коклюш это не похоже, тк кашель не душит, он около 10-15 раз в день, но он есть!