Нет не должен. Есть некоторые, кто допустим оплачивает первый раз. Есть кто постоянно платит. Ну кому это нахер нужно.

Не обязан, но многие компании оплачивают

Мед книжку не обязан , только чисто по его желанию

Как показывает практика где я работала зависит от работодателя, есть кто да, есть кто нет. Но если по закону не подскажу

Мне именно саму мед книжку не оплачивал а вот мед комиссию да