Недели две назад это делала. Пришла в новую поликлинику, принесла копию свидетельства о рождении и полиса, также номер СНИЛС. Написала заявление + обработка данных и еще одно какое-то. Карту они переправили самостоятельно. С новой поликлиники мне уже писали, значит карта уже у них (уточняли данные).

Идёте в новую, пишите заявление на прикрепление, при необходимости копии приносите доков (полис, свидетельство). Всё. Карту они сами переправляют, но часто долго. Это конечно идеальный сценарий. А в зависимости от поликлиники, могут начать нервы трепать, нет места, у участковых перегруз, вас никто не возьмёт и тд. Тогда начинаются разборки через страховую, Минздрав и тд.
Ну и если хотите к определённому врачу, лучше предварительно заручится его согласием.