В стоматологии детской слышала разговор врача и бабушки с ребёнком. Врач сказала, что можно, чтобы мама написала от руки с указанием паспортных данных, разрешение на посещение врача ребёнка с бабушкой. И тогда, мол, мы вас примем. Не знаю, везде так или только они так лояльны.

Во всех мед учреждениях даже в поликлинике ,официально нужна доверенность на бабушку от Вас ! Она не имеет права представлять ребенка без доверенности

Никак. Нотариальную доверенность.