Больничный можно открыть всегда, не зависимо от дня недели, праздника или времени суток. Если вы дома, то фельдшером выписывается справка на основании которой потом открывается больничный лист, если лечебное учреждение, то сразу листок нетрудоспособности.

Работают.

Я и 2 января открывала больничный с ребенком

Должны