Мы забрали документы из сада на фмр, переехали в пашковку и через год я подала в мфц не на очередь в садик, а именно на выделение места в саду (в пшк), путевку дали через 10 дней, хотя написано было, что 30 дней на рассмотрение)
НО у меня прописка в пашковке была

По-первому вопросу не подскажу.
А вот по-второму расскажу свой опыт. Мы недавно переехали. В саду писали заявление на отчисление, забирали мед карты. На гос услугах подавала заявление на сад в другом городе, они должны были рассмотреть его в течении 30 дней, но я уже через неделю поехала сама в отдел образования, чтобы ускорить процесс ( подсказали так сделать). И вот уже почти 3 недели ждём. Мест нет...
Для подачи заявления прописка была нужна.

По 2 пункту вам точно заново становится в очередь в том населенном пункте куда переедете, как там с местами надо узнавать дадут ли сразу или нет. Прописку смотрят одного из родителей

1) даже легче если в пределах города
2) да заново на очередь / учет
Прописка одного из родителей достаточно