Щенок укусил старшую кошку до крови: надо ли ехать в травмпункт после первой прививки от бешенства?

Так, успокойте тревожного человека, пожалуйста!
Домашний щенок, еще ни разу не был на улице, дома с котами нашими только, у него есть первая прививка от бешенства, скоро вторая будет, и вот от цапнул в игре старшую, получилось, что до крови. Не надо же со старшей ехать в травмпункт?
Место ей обработала мыльной водой, перекисью, мирамистином и йодом🙈