Может ли бабушка оформить отпуск по уходу за ребенком, если мама в больнице, а ребенку 5 месяцев?

Можно. Берите в больнице больничный сразу, на работу сообщите, что с такого числа выход на работу и будет больничный. Как больничный закончится уйдёте снова в декрет. Это и вам и бабушке выгодно будет. Вы получите оплату больничного, а она не будет сидеть за свой счёт.
Я так делала. Тоже думала ненадолго,а получилось аж на полгода.

Вам нужно выйти из отпуска официально и бабушка может пойти да. Но учтите что выплата вам прекратится и стаж тоже прервётся

Да может