Помогайте выводить мокроту массажем, питьём тёплым. Антибиотики по анализам назначают. Посмотрите видео на сайте ссылка про антибиотики: добро или зло, когда стоит принимать и как можно помогать организму при их приёме.
Мы так таки пропили антибиотик и он помог. И это не совпадение) я так обычно не делаю, но даже док пульмонолог мне сказала, что длительный кашель без положительной динамики на фоне лечения носа-прямое показание. Потому что бронхит у детей не всегда легко клинически поставить, он бывает вялотекущий. Сходите к пульмонологу хорошему.