Влажный кашель и сопли у ребенка: давать ли антибиотик, если нет температуры и ребенок активный?

У ребенка уже неделю влажный кашель и сопли, до этого неделю был сухой кашель ночью. Сопли прозрачные, не текут ручьем. Педиатр сегодня назначила антибиотик. Температуры нет и не было. Ребенок бодрый и активный. Кашель влажный и редкий, ночью не кашляет. Неделю пропил флуифорт, сегодня еще назначили амброксол и полидексу.
Педиатр говорит, что анализ крови все равно неинформативный будет, покажет только воспалительный процесс.
Что то я сомневаюсь давать ли антибиотик и амброксол.
Я сама на стадии остаточного кашля, но я пила антибиотик в начале болезни, особо улучшения не заметила. 4 дня была в стационаре, там кололи антибиотик, но на кашель вроде тоже не повлияло. Лежала в больнице по другой причине, не из-за кашля.
Лечите ли вы влажный кашель антибиотиком? Резонно ли назначение?