Нет, больничный не нужен. Вы в до. Можно заморочиться и например прервать до, мужу взять до и принести больничный в оплатут а потом снова уйти в до, но это того не стоит и как правило не практикуется.

Зачем? Его же не будут оплачивать. Если конечно не прервать отпуск, на следующий день уйти на больничный, по выходу из больничного снова написать на отпуск по уходу за ребенком.