Конечно может, если это обычная поликлиника. Тем более за справкой. Моя мама со старшим на больничный уходила, когда я со вторым сыном в больнице лежала.
В некоторых клиниках, в частных, требуют подписанное согласие от родителей, что бабушка может сопровождать детей.
У меня вообще нотариально заверенное согласие.