А разве детская карта привязана к сроку постановки на учёт, она же вроде даётся по прописке одного из родителей и месту рождения малыша. А пособие о постановке на ранних сроках зависит именно от сроков, но там вообще ерунда.
Может, попытаться с врачом договориться? Ну попросить по-человечески? Там же никто не проверяет. Если в справке написано, что до 20 недель, то и пособие дадут.