Только кашель? Дышит нормально?

От прививки бывает аллергическая реакция, нет ли отека горла? Для перестраховки можно дать антигистаминное (фенистил или зодак или что у вас дома)

Дайте фенистил детские капли и понаблюдайте. Может аллергический. Но поскольку в поликлиниках чаще всего не организован чистый коридор, то может немножко приболел.

Прививки не вызывают кашель

Прививались гексой, не было такого ни разу, вообще легко её переносил. Предполагаю, что у вас вакцинация могла совпасть с вирусом. Хотя, может, у кого-то было🤷🏻‍♀️ Почитайте побочки, есть такое? У нас были побочки на другие вакцины и совсем иного плана.

Прививка не последствие. Прививка может стать триггером. Соглашусь с комментом выше, что это вирусное

Скорее всего вирусное