Можно ли делать ингаляции при мокром кашле с пульмикортом? Как правильно разводить и лечить кашель?

Нет, нельзя. Пульмикорт используется при острых состояниях стеноза, когда дышать становится невозможно.
Кашель никак не лечится, это симптом, а не болезнь.
Теплое питье, промывать нос солевым раствором чтоб прям выливалось наружу 4 раза в день, проветривать комнату

Не нужно ингаляции без назначения врача , он не от кашля , а для расширения бронхов , при бронхите и таком .
Сходите к педиатру нужно послушать , от чего мокрый кашель от того, что сопли стекают или другие причины, чистые ли бронхи и там уже вам назначат лечение.
Пульмикорт гормональный с ним не балуются