Как поступить в школу не по прописке: шансы, документы, советы и личный опыт. Есть ли варианты?

Зависит от количества мест. Лучше поискать тех, кто поступал уже в эту школу.
В этом году с 1 апреля принимали заявления по прописке и у кого брат/сестра учится, с 6 июля не по прописке. В каких-то школах по электронному заявлению формируют очередь. В 48 гимназии (+филиал) сказали "принимаем заявления вживую только 1 день независимо от подачи электронного".

Мы пошли на дошколёнок. Поговорили, что если ребёнок перспективный, то его возьмут 😅

Смотря какая. Если места есть то да. Если вы во вторую волну поступлений приходите и вам говорят мест нет, у вас есть возможность придти ещё в школы, и если везде вам откажут то идёте в последний момент в школу по прописке.
Либо делаете временную регистрацию у друзей/знакомых и проступаете по прописке. Но некоторые школы сильно хорошие бдят кто такие временники поступают и могут отказать за доказательством что вы там не живете. Но это лицеи чаще всего, и очень дорогие лицеи где только вход от 50-100 тыс