Ничего не надо доказывать. Пишите заявление, прилагайте документы и сдавайте обязательно под роспись. Откажут - жалобу в ФСС, трудовую инспекцию, прокуратуру.
Выплачивает же не фирма, а фонд социального страхования. Можно туда напрямую обратиться по горячему номеру. Но обычно это потом приводит к тому что в организацию приходит внеочередная проверка трудовой инспекции 🤷🏽♀️