Пульмикорт купирует ложный круп, если крупа нет, то он не нужен. Препарат серьезный, и кашель не лечит.

Не стоит. Это очень серьезный препарат.
Кашель явно скорей всего от соплей.
Приподнять изголовье и окно открыть

А что у вас? Пульмикортом ларингит и бронхит лечат, астматические приступы снимают, круп снимают. У вас не особо похоже, больше на просто сопли по задней стенке.
Я бы к другому педиатру сходила, это не конфетку дать.

Конечно стоит. Этим пульмикортом мы не один кашель вылечили. А физ раствором дышать, только лишь мокроту разжигать, будет только хуже. Я говорю так, потому что дочке только с пульмикортом делаю ингаляцию.
А физ раствор для насморка помогает хорошо, но при кашле, надо другое лечение.

Если не доверяете назначениям врача, обратитесь к другому врачу, но самолечением заниматься не стоит все же.

Стоит.. Дышите