Комиссия нет, а справка от педиатра может и да, сыну просили сделать

Нет, забираете мед карту из старого садика и относите в новый

Комиссия не нужна. Медкарту со старого сада приносите в новый вместе сертификатом. Перед походом в новый сад нужно будет сдать кал, соскоб и справку от педиатра, что здоров.

Почему с меня требуют 😬интересно, в каждом саду разные законы

Нет, только справка, что здоров.