Я бы сходила в сады, лично поговорила с ЗАВ. У нас, например, всегда были места, в любое время года, Фрунзенский район. А по бумагам - перевод из одного сада в другой. В свой можете уже и не ходить формально, если не удобно, а так ждать новое место

В любом случае встаёте в очередь, в настоящий сад ходите до момента пока не оформились в новый (т.е. заявление из МФЦ подаете-оно идёт в роно-там дают направление в новый сад-несете документы туда в течение месяца-договариваетесь с какого дня будете ходить).
Насколько быстро дадут место зависит от района и есть ли знакомые в роно или вашей настойчивости )))
Переводились просто несколько раз

Если места есть, то могут и сразу дать, но такое только в Центральном районе, наверное, бывает. Забирать документы не нужно, нужно подать заявление на перевод в другой сад.