Всегда карты дома у меня. Один раз хотели они у себя оставить настойчиво, я сказала что ходим по платным врачам и карту забираю себе. Больше вопросов не было)
У нас на картах наклейки, что карта является собственностью поликлиники, и ссылка на документ какой-то. Но дают, если к узкому специалисту нужно в другой филиал (у нас их три), или к стоматологу (в стоматологическую поликлинику). Так и скажите в регистратуре.