Не подскажу вам насчёт Грузии, но в Турции летом не меньшая жара чем в Египте, плюс влажность как в бане на максимуме

Если Вы были в Ялте, то Батуми, это та же Ялта, только больше размером) там есть зоопарк, дельфинарий, большая длинная набережная. Можно съездить в ботанический сад.
В горы там ехать далеко не получится.
Есть прямой поезд Батуми-Тбилиси. 6 часов едет.

Мы летали сами в Грузию не по путевке. У нас друзья с 2 детьми обычно снимали в Батуми квартиру и сами готовили, то в 2019 году - месяц были: перелёт, аренда и еда, им вышли около 2000$.

В Батуми в июле хорошо. Пляж галька. Еда там специфическая это правда. Но там полно супермаркетов, и все йогурты, творожки и фрукты и овощи как у нас.
Если вы с ребёнком, то удобнее и выгоднее снять квартиру на аинрбб, и самим готовить. Продукты как у нас.

В Боржоми красиво и дорого, но там лес . Там будет скучновато.

В Батуми активно строится, кругом мусор, пляж галечный. С маленьким ребенком я бы туда не ехала.
По питанию в Грузии преимущественно только завтраки, полный пансион - редкость. Найти еду для ребенка проблематично, все острое, соленое и с кинзой.
Учтите еще момент: в Грузии на третий день после приезда надо за свой счет сдать пцр на ковид (один тест - 120 лари), выходит кругленькая сумма((

В Грузии у вас скорее всего будет питание - завтраки.
То есть, вы будете ходить искать не грузинскую еду для ребёнка. Пляж галька. Можно Поехать в Уреки, но то село.
В Турции же за эти деньги у вас будет все: еда, детская комната, бассейны. Вы будете просто ходить по пляжу и писать коктейли. В Батуми пляж городской.
В Грузии классная экскурсионка, но вряд ли вы с ребёнком пойдёте.

Египет точно нет
Турция или Грузия