Через паспортный (УМВД). На госуслугах пишите заявление, в течении трех дней приглашают и ставят прописку сразу, ничего не забирают. МФЦ это посредники, они ваш паспорт в тот же паспортный стол и направят, потому и забирают на 10дней.