Мы изучали этот вопрос, сказали, что мужу нельзя оформить больничный, вернее оплачиваемый больничный. Так как я находилась в официальном оплачиваемом декрете, получала официальные выплаты за это и второй родитель уже не может получать.

Пока я лежала в больнице, мужу пришлось взять отпуск за свой счёт

Это сказали и у него на работе и в поликлинике, когда муж пошёл «оформлять» больничный

Это довольно сложно. Вам надо выйти из декрета,уйти на официальный больничный, а отцу уйти в декрет на это время. Но обычно просто договариваются с участковым педиатром, чтоб она выдала отцу больничный на старшего ребёнка, или притвориться больным.