Обильное тёплое питьё. Ромашка.
Конечно хорошо бы сделать флюрографию, что бы точно удостовериться какой именно кашель.
Если кашель не проходит больше 2х недель, то назначают антибиотики

Можно еще массаж дренажный делать. Лучше тогда мокрота отходит)

Ну, мы тут не врачи, конечно, и ребёнка не видим, но если врач слушал ребёнка и ничего плохого не наслушал, значит у ребёнка просто обычный кашель после болезни. Это просто выходят сопли, которые по задней стенке горла всё ещё стекают по-немногу в дыхательные пути, организм сам их умеет выводить методом кашля вот такого мокрого. Обычно с этим вообще ничего не делают, просто наблюдают. Если ребёнок себя хорошо чувствует, нет температуры, то с ребёнком даже желательно гулять на свежем воздухе, ну если у Вас там на улице не минус 30. И дома нужно, чтоб был прохладный влажный воздух, так мокрота легче выходит.