Можно ли оформить свидетельство о рождении не по месту прописки?) Просто в ближайшем РАГС?

Не, там не в любом месте можно. Либо по прописке, либо в том районе, где и родом находится.

В районе, где рожали можно только

Только в районе роддома

по-моему, можно везде. Я рожала в 7 в Киеве, прописана в Луганской обл, живу под Киевом, оформили по месту жительства, никто ничего не пикнул, даже переселенская справка не нужна была. Муж сходил оформил