Я тоже никогда не хожу в поликлинику, но даже если встанете на учёт в частную, то они направляют все равно в обычную поликлинику. Но через частную вроде в очереди сидеть не надо, у них отдельный день.

У Вас есть платный прививочный центр? Если нет, только в поликлинике.