Прописка не нужна, в мфц только свидетельство о рождении, свидетельство о браке и паспорта. Там в документе напишите адрес проживания, через пару лет когда будете повторно подавать документы в мфц, вот тогда уже нужна будет прописка.
Сейчас. Я ездила в Управление образования и писала заявление, где указывала садики конкретные. Но говорят можно и через госуслуги, и мфц. Не затягивайте.