Заявление на имя главного врача пишите, что копию карты заверенную нужно для обращения к другому специалисту и все

Не отдадут , если только копии разрешат за ваш счёт сделать :))

И зачем забирать карту ?)) просто идите к другому врачу и скажите, какие нашли проблемы :)) не факт, что другой врач будет смотреть на карту, если бы вам отдали 🤷‍♀️

Не надо никаким обманным путём.
На руки не дадут скорее всего,но можно нормально попросить,чтобы сделали копии страниц.