В центр занятости? Вроде можно, но платить деньги они не будут, только помогать в поиске работы

Ні, не можна, бо ви отримуєте дохід, поки в декреті

Вроде нет

А если и да, то должны быть какие-то нюансы

Позвоните или сходите на биржу

Всё нормативные документы есть на сайте цз, и информация кого они принимают

Посмотрите на сайте

ссылка

А лучше поехать и спросить

Конечно можно!