Может. У нас полтора месяца было. Зубы пачкой лезли. Нам сначала лечили простуду. Потом аллергию. Оказалось зубы. 2 раза так было когда по несколько штук росли

Во время прорезывания зубов у ребёнка может снижаться иммунитет. Он все тянет в рот, поэтому подхватить вирус или бактерии больше вероятности. Понятия: сопли или температура на зубы не существует

Сопли на фоне слабого иммунитета из-за зубов могут быть.

Кашель , если система, то уже лечить надо. Если от случая к случаю, то может быть из-за стекающих соплей....надо смотреть

Но в любом случае заниматься соплями, кашель следить.

Ну руки во рту могут быть) а вот кашель с соплями скорее всего вирус. Надо врача горло посмотреть и послушать