Чтобы штамп в домовой книге поставить, хозяин уже должен будет в ведомство обратиться и поставить штамп (через недели 3 после вашей перепрописки).
Вам ехать не обязательно туда
Не обязательно, сейчас можно выписаться "по запросу". Вас выпишут и сразу пропишут.
Просто в домовой книге в Прохладном не будет стоять штамп о том, что вы выписались.