Есть такая процедура как признание отцовства. Отец ребёнка бросил Вас, а потом вернулся и все стало хорошо. Но это через суд. Это легче чем усыновлять.

Так как мать одиночка то отказа ненужен. Просто усыновления и смена фамилия. Все делается в загсе.

Для этого нужен или отказ от родительских прав или их лишение биологического отца и обратится в опекунский совет вашего района там дадут перечень документов для вашего мужа на усыновление( там проведут инструкцию жилищных условий,мужу надо пройти медкомиссию и т.д.) и с этими всеми доками в суд.а после решения суда в ЗАГС менять фамилию и отчество