В детской поликлинике подойдите к администратору с детской картой, вас направят в кабинет ОМС-оформят страховой полис и прикрепят к поликлинике. Календарь прививок он единый. Лучше распечатать и взять с собой. В прививочном внесут все данные.

Всё сами, никто карточку не переправит и не прикрепит

сначала нужно переоформить полис ОМС (сменить регион страхования), потом прикрепиться к новой поликлинике. сами, автоматически это не делается. всё можно сделать через госуслуги либо лично сходить в нужную поликлинику.