Вы не можете быть оба в отпуске по уходу за одним ребенком. Те сначала уходит муж, вы пишете на работе б/с, потом когда выплаты назначат, муж пишет заявление, что выходит из отпуска, а вы пишите на своей работе, что уходите в отпуск по уходу без выплат.
Вот здесь почитайте комментарии.
Имейте ввиду, что вам не зачтут трудовой стаж, если супруг получает пособия.

ссылка

Вы оба можете одновременно быть в отпуске по уходу. Вы пишите заявление без получения пособий, а он с получением.
И с вашей работы должны ему предоставить справку, что вы не получаете пособия

Если пособия получает супруг, то уход за ребенком оформлен на него, при этом он работает. А вы не можете оформить если вы не устроены официально, даже без выплат.

Да, также как и с получением. Пишите заявление и указываете, что неоплачиваемый