Звоните в школу, в которую хотите перевести ребёнка, если они дают добро, то
-на мос.ру подаете заявление о переводе
-когда заявление пройдет проверку, то нужно будет подгрузить документы (свидетельство о рождении и выписку об успеваемости . Выписку нужно будет взять в старой школе с печатями, ее можно взять заранее).
- подгружаете все документы и ждете одобрения о зачислении от новой школы.
- после зачисления (придет уведомление, что ребёнку предоставлено место) идете в старую школу и забираете документы, несете в новую школу.
- после этого придет уведомление на мос.ру, что ребенок отчислен из старой школы

Предварительно лучше узнать в нужной школе наличие мест и подаете заявку в эту школу на мос ру. Когда школа одобрит, сможете забрать документы из старой.