У меня с дочкой такая ситуация была. За 4 месяца до детского сада мы переехали. Я просто через гос услуги изменила сад по причине переезда(конкретно уже не помню, что именно делала). Потом пришло уведомление, что можно в данный сад подавать документы. В июле все документы собрала и комиссию прошли, а в августе уже пошли в сад. По поводу пораньше водить - это непосредственно с заведующей нужно разговаривать.

Прописка не играет роли в выборе сада, только если переезжаете в другой город. Внутри города просто меняете приоритет на сады, добавляете новые сады, при этом очередь не меняется. По поводу нового сада можете сначала позвонить заведующей узнать со скольки лет у них группы и есть ли места чтобы вас добрали. Или же в департамент, добавлять сад и там обсудить этот вопрос. Если есть ясли и есть места, то доберут в группу в любое время года.

В отдел образования менять приоритетный сад.

Если в нужный вам момент есть в саду группа вашего возраста и в ней есть место, то могут, думаю, и среди года взять, а если это новая группа, как например ясли, то только с августа -сентября